La Sezione Aurea.

Quando la Matematica incontra l’Arte.

Sono molto legato alle regole di composizione; quelle regole tese a suddividere lo spazio in modo ordinato.
La più conosciuta, e forse utilizzata, è la Regola dei Terzi, ma ve ne sono altre.
Vorrei tuttavia soffermarmi in particolare su una regola che mi ha sempre affascinato perché ha, tra le sue caratteristiche, quella di celarsi tra i meandri della nostra mente. Una regola che non si palesa in modo sempre chiaro e intuitivo ma che, sono convinto, risieda stabilmente tra i nostri neuroni: La Sezione Aurea.

Cosa si intende per Sezione Aurea.

Se dividiamo un segmento (per semplicità di lunghezza 1) in due parti non uguali, in modo tale che la parte più corta stia alla parte più lunga come la parte più lunga all’intero segmento, otteniamo che la parte più lunga misura 0,618033… e quella più corta 0,381966…
Abbiamo così costruito una Sezione Aurea.

Il numero irrazionale 0,618033… si esprime con la seguente espressione: [(√5)-1]/2

Si tratta, dunque, di un rapporto: il rapporto tra 1 (l’intero segmento) e 0,618033… (la sezione più grande), e tra 0,618033… e 0,381966… (la sezione più piccola), analogamente a quanto accade tra i due lati del rettangolo formato dalla pellicola 24X36 che hanno, tra loro, un rapporto di 1,5.
La Sezione Aurea si esprime con il reciproco di 0,618033… ovvero 1/0,618033… che dà come risultato: 1,618033…
Strano numero questo, no? La serie dei decimali rimane invariata!

Per precisione la Sezione Aurea si esprime come: 1+{[(√5)-1]/2}

Semplificando, si ottiene: (1+√5)/2 = 1,618033…
che, dunque, è l’espressione corretta che identifica il rapporto aureo.

Da questa regola possiamo costruire figure geometriche più complesse come il “Rettangolo Aureo” nel quale si può notare che ogni rettangolo derivato ad ogni passo successivo è simile; ovvero ha le stesse proporzioni tra i lati lunghi e quelli corti.

Oppure il “Triangolo Aureo”

Vediamo che il triangolo principale, e tutti i derivati, hanno due angoli di 72° e uno di 36°.

La Sezione Aurea, già studiata dai Pitagorici, fu considerato come il rapporto più “estetico”.
Venne e viene tuttora utilizzata in architettura (La struttura architettonica del Partenone è basata sulla Sezione Aurea) e nella pittura.
Un paio d’esempi molto celebri li dobbiamo a Leonardo da Vinci.
   

Osservando l’Annunciazione possiamo constatare l’intenzione dell’Autore nel far convergere lo sguardo dell’Arcangelo Gabriele verso il grembo di Maria (il vero soggetto dell’Opera) facendolo coincidere con il vertice del “Triangolo Aureo” e la sua postura protesa verso di esso, coincide con il lato del triangolo piccolo.
Il risultato è un’Opera struggente e di sobria dinamicità.
Colui che annuncia si tiene a rispettosa distanza dalla Madre del Messia ma il suo atteggiamento, proteso verso di Lei, è estremamente coinvolgente.
Un Capolavoro assoluto al quale la Seziona Aurea ha dato il suo non trascurabile contributo.

Veniamo a noi. A noi fotografi che dobbiamo creare composizioni gradevoli; che dobbiamo suddividere lo spazio in proporzioni che seguano le regole dell’equilibrio.
Anche senza saperlo, utilizziamo spesso la Sezione Aurea.
Non ci credete? Ecco alcuni esempi.

Bruno Pipitone – Soggetto racchiuso nel quadrato grande e spazio suddiviso nel rapporto 1:1,618…

Sergio Gargiulo – Stessa suddivisione.

Sergio Gargiulo – Soggetto principale al centro del quadrato grande, tazzina che divide lo spazio nella proporzione aurea, finestra racchiusa nel quadrato piccolo.

Ludovico Fossà – Foto realizzata per una Monografia Istituzionale.
Dopo qualche tempo, mi domandai quanto mi fossi avvicinato alla Sezione Aurea. La precisione è sorprendente, segno di una sorta di automatismo.

Sergio Pivetta – Fanciulla contenuta in un “Triangolo Aureo” e braccio coincidente con la bisettrice del triangolo piccolo.

Si potrebbe obiettare che vi sia, in questo ragionamento, il tentativo di ingabbiare la creatività, oppure si potrebbe configurare una forzosa strutturazione individuata solo a seguito di prove fatte a posteriori con righello e compasso per trovare, prima o poi, una precisa, ancorché casuale, struttura geometrica. Io non lo credo.

La Sezione Aurea è, se ci pensiamo bene, un rapporto di crescita costante. La Natura ce l’offre in modo piuttosto evidente: negli organismi semplici come le conchiglie, nella ramificazione degli alberi o in situazione macroscopiche come la forma dei bracci a spirale delle galassie.
Ne siamo, dunque, condizionati. Con il termine condizionamento intendo l’assorbimento inevitabile e naturale del mondo fisico che ci circonda, comprese le sue strutture e proporzioni.

Dunque, un rapporto di crescita costante: ce lo spiega un matematico italiano.
Leonardo Fibonacci (XIIIsec) che tra l’altro ebbe il merito di introdurre in Europa i numeri e la matematica araba, inventò una sequenza di numeri che prende il suo nome: Sequenza di Fibonacci.
In questa sequenza ogni numero è la somma dei due che lo precedono:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …ecc…

Da questa successione se ne può formare una di tipo frazionario
(ovvero calcoliamo i rapporti esistenti tra due numeri consecutivi):
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …ecc…

I valori decimali di queste frazioni sono:
1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,617; 1,6181; 1,6180; …ecc…
Man mano che si procede, ci si avvicina sempre più al rapporto aureo.

La situazione non cambia anche partendo da una qualunque altra coppia di numeri.
Ne scegliamo una a caso; ad esempio 9 e 3.
La sequenza:
9, 3, 12, 15, 27, 42, 69, 111, 180, 291, 471, …ecc…

Le frazioni:
3/9, 12/3, 15/12, 27/15, 42/27, 69/42, 111/69, 180/111, 291/180, 471/291, …ecc…

I loro valori decimali:
0,333; 4; 1,25; 1,8; 1,555; 1,643; 1,609; 1,622; 1,617; 1,618; …ecc…

Alla fine si arriva sempre lì, a quello che veniva chiamato il “Numero d’Oro”, ossia 1,618… e altri infiniti decimali, essendo questo un numero irrazionale.
Ovvero: qualunque sequenza di questo tipo, a prescindere da quali siano i due numeri iniziali, converge alla Sezione Aurea.

Non possiamo stupirci che la matematica entri di prepotenza in ambiti che molti ritengono erroneamente lontanissimi dalla scienza e dalla razionalità. La musica, ad esempio, segue ferree regole matematiche; infatti i rapporti armonici tra una nota e l’altra della scala tonale, sono in realtà precisi rapporti matematici rispetto a una nota convenzionalmente adottata come riferimento: il LA 440 Hz.
Così come anche la metrica viene definita secondo rapporti matematici: il valzer, ad esempio, è in 3/4.

Ebbene, le regole sono fatte per essere infrante.
Vero. Per infrangere le regole occorre tuttavia conoscerle, altrimenti non sappiamo cosa stiamo infrangendo.
E non ha nemmeno molto senso assumere come regola l’infrazione delle regole, altrimenti per infrangerle dovremmo seguirle.
E poi: siamo così certi di poterci allontanare scientemente dai condizionamenti? Personalmente credo sia un’illusione.

Perché, dunque, la scelta di seguire le regole di composizione?
Al contrario di ciò che avviene in natura dove è noto che l’entropia (ovvero la tendenza verso il caos) è sempre positiva, il nostro cervello ha bisogno di ordine. L’esigenza di regole da seguire (o da infrangere) è determinata dal bisogno di ordine.
L’ordine è qualcosa di comprensibile, catalogabile e quindi archiviabile. L’ordine è rassicurante.
Nelle infinite combinazioni di cui il caos è composto ci sentiremmo sperduti, non sapremmo riconoscere nulla. L’ordine, al contrario, ci permette di catalogare le innumerevoli informazioni a cui costantemente veniamo sottoposti comprese, ovvio, quelle visive.
Io credo che il punto sia racchiuso tutto in quest’ultima riflessione.
La Sezione Aurea è solo una delle possibili regole compositive. Non è obbligatoria, non è migliore di altre, ma un’immagine, o anche un’opera architettonica, oppure una composizione sinfonica, sono frutto dell’ingegno umano e nascono, quindi, innanzitutto dalle idee. Dalle idee ordinate di qualche artista.
Infrangere le regole significa solamente cercare qualche altro modello ordinato.
Qualcuno l’ha fatto. Si chiamano “Caposcuola”.